[Algorithm] Dynamic Programming

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본 포스트는 ‘이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬’을 공부하고 작성하였습니다 :)
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Dynamic Programming

이론

우리는 문제를 해결할 때 연산 속도와 메모리 공간을 최대한으로 활용할 수 있는 효율적인 알고리즘을 작성해야 한다.

어떤 문제는 메모리 공간을 약간 더 활용하면 연산 속도를 비약적으로 증가시킬 수 있는 방법이 있다. 대표적인 방법이 바로 다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming) 이다. 다이나믹 프로그래밍은 큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법으로 동적 계획법이라고 표현하기도 한다.

다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 대표적인 예시로 피보나치 수열과 팩토리얼이 있다. 두 예시 모두 수열의 항을 점화식을 이용하여 간단하게 정의할 수 있다는 특징이 있다. 전에는 두 예시를 모두 재귀함수를 이용하여 구현하였는데, 재귀함수를 사용하게 되면 n이 커질 수록 수행 시간이 기하급수적으로 증가한다는 문제점이 있다. (시간 복잡도가 약 O(2^n)이다.) 이처럼 점화식을 재귀 함수를 사용해 구현할 수는 있지만, 매번 계산하도록 한다면 효율적으로 문제를 해결할 수 없다. 따라서 이러한 문제는 다이나믹 프로그래밍을 사용하여 효율적으로 해결한다. 다이나믹 프로그래밍은 다음 조건을 만족해야 한다.

1. 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다.

다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나로 메모이제이션 (Memorization) 기법이 있다. 메모이제이션 기법은 값을 저장하는 방식으로 캐싱(Caching)이라고도 하며, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 저장해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다.

다이나믹 프로그래밍에는 크게 2가지 구현 방법이 있다.

1. 탑다운 (Top-Down) 방식

   재귀함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법을 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제들을 호출한다고 하여 탑다운 방식이라고 한다. 탑다운 방식은 하향식이라고도 하며 메모이제이션 방식을 사용한다.

   피보나치 수열 탑다운 방식으로 구현 (메모이제이션)

    # 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
    d = [0] * 100
       
    # 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
    def fibo(x):
        # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
        if x == 1 or x == 2:
            return 1
        # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
        if d[x] != 0:
            return d[x]
        # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
        d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
        return d[x]
       
    print(fibo(99))
   

2. 보텀업(Bottom-Up) 방식

   단순히 반복문을 이용하여 소스코드를 작성하는 경우 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다고 하여 보텀업(Bottom-Up) 방식이라고 한다. 재귀함수를 사용하는 탑다운 방식보다 성능이 더 좋다. 다이나믹 프로그래밍의 전형적은 형태는 보텀업 방식이고, 보텀업 방식에서 사용되는 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.

   피보나치 수열 보텀업 방식으로 구현

    # 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
    d = [0] * 100
       
    # 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
    d[1] = 1
    d[2] = 1
    n = 99
       
    # 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
    for i in range(3, n + 1):
        d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
       
    print(d[n])
   

다이나믹 프로그래밍 문제 풀이 단계

1. 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하기
2. 변수 간 관계식 만들기(점화식)
3. 구현하기(memoization or tabulation)

실전 문제

[실전문제 1] 1로 만들기

# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 1000001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
for i in range(2, x + 1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i - 1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)

print(d[x])

[실전문제 2] 개미 전사

# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1]) 
for i in range(2, n):
    d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + array[i])

# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])

[실전문제 3] 바닥 공사

# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 1001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = (d[i - 1] + 2 * d[i - 2]) % 796796

# 계산된 결과 출력
print(d[n])